HUBUNGAN DAN FUNGSI PADA MATEMATIKA

Pengertian Relasi

Relasi yaitu hubungan antara anggota pada suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lainya. Relasi dari himpunan A ke himpunan B ialah menghubungkan anggota-anggota himpunan A pada anggota-anggota himpunan B.

Cara Menyatakan Relasi

Relasi dua himpunan A dan himpunan B bisa dinyatakan dengan 3 cara yaitu :

1. Diagram panah
2. Diagram cartesius
3. Himpunan pasangan berurutan.

1. Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P ber relasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal itu ditunjukkan dengan arah panah. Oleh sebab itu, diagramnya disebut diagram panah.

Contoh :

Diagram panah

2. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius merupakan diagram yang terdiri dari sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu y Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah ataupun titik.

Contoh :

diagram kartesius

3. Himpunan Pasangan Berurutan

Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya bisa disajikan pada bentuk himpunan pasangan berurutan. Cara penulisannya yaitu anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

Contoh :

{(Rani, basket)}, {(Rani, bulu tangkis)}, {(Dian, basket)}, {(Dian, atletik)}, {(Isnie, senam)}, {(Dila, basket)}, {(Dila, tenis meja)}

Sifat – Sifat Relasi

Sebuah relasi A×A, adalah relasi dari himpunan A kepada A sendiri, mempunyai sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Di sebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Jenis-Jenis Relasi

• Relasi Simetrik
• Relasi anti Simetrik
• Relasi Transitif
• Relasi Refleksif
• Relasi Invers

1. Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang apabila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sebagai berikut ; R-1= {(b,a) : (a,b)R}

Contoh:

A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2. Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika tiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan istilah lain, R disebut juga relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.
Contoh Relasi Simetrik :
perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

3. Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika tiap-tiap anggota pada A berelasi dengan dirinya sendiri
Contoh :
Relasi Refleksif Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} Apakah R relasi refleksif ? R bukan relasi refleksif, karna (2,2) tidak termasuk dalam R. Jika (2,2) termasuk dalam R, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan relasi refleksif.

4. Relasi anti Simetrik

Suatu relasi R bisa disebut relasi anti simetrik andai (a,b)R dan (b,a)R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh :
Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R merupakan relasi anti simetrik sebab jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.
Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1dan (3,2)R1.

5. Relasi Transitif

Misalkan R relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain andai a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.
Contoh :
Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab (b,a)R dan (a,c)R tetapi (b,c)R. dilengkapi agar R menjadi relasi transitif R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

Perbedaan Relasi da Fungsi

Secara sederhana, relasi bisa diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud di sini yaitu hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain).. Sedangkan fungsi yaitu relasi yang memasangkan tiap anggota himpunan daerah asal tepat satu ke himpunan daerah kawannya.

Perbedaan antara relasi dan fungsi ada pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya.

Pada relasi, tidak ada aturan yang khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan. Aturan hanya terikat atas pernyataan relasi itu sendiri. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak mempunyai pasangan.

Sedangkan pada fungsi, tiap-tiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan itu mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya.

Kesimpulannya, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi

Contoh Soal Relasi Matematika

Contoh Soal 1
Himpunan P = {2, 3, 4, 6} dan Q = {1,2,3,4,6,8} dan “faktor dari” merupakan relasi yang menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q . Buatlah relasi ke bentuk himpunan pasangan berurutan.

Jawab :
{(2,2)}, {(2,4)}, {(2,6)}, {(2,8)}, {(3,3)}, {(3,6)}, {(4,4)}, {(4,8)}, {(6,6)}

Contoh Soal 2
jika siska menyukai sepakbola, liya menyukai voli dan basket dan berli menyukai basket dan sepakbola. buatlah relasi himpunan pasangan berurutan .

penyelesaian :
{(Siska,sepakbola)}, {(liya,voli)}, {(liya,basket)}, {(berli,basket)}, {(berli,sepakbola)}

Contoh Soal 3
Diketahui : Ani menyukai bakso dan nasi goreng, irfan menyukai mie ayam , arman menyukai nasi gireng dan coto , ahmad menyukai ikan bakar dan erwin menyukai bakso. Buatlah relasi diagram panahnya

Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

  

Contoh pemasalahan pada fungsi:

Diketahui himpunan A dan B diberikan seperti di bawah.

  

  

Didefinisikan fungsi  dengan f(x) = x + 5.

Tentukan hasil pemetaan dari  oleh fungsi , , , dan !

pembahasan :

Peta dari  oleh fungsi f yaitu y = f(x):

  

  

  

  

 = Daerah Asal

  

 = Daerah Kawan

  

Daerah Hasil = 

  

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga jenis tersebut dapat disimak pada penjelasan di bawah.

1. Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)
   Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi  dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.
   Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.
   Perhatikan gambar di bawah untuk melihat lebih detail mengenai perbedaannya.
   


2. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
   Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.
   Perhatikan gambar di bawah untuk menambah pemahan sobat idschool tentang sifat fungsi surjektif.
   


3. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
   Fungsi Bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan. Perhatikan gambar di bawah.