TURUNAN FUNGSI LEBIH DARI 1 VARIABLE

TURUNAN FUNGSI (Lebih dari 1 Variabel)

Turunan Fungsi Dua Variabel

° Turunan Parsial

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

                1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.

                2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 

a. Turunan parsial terhadap variabel x

Jika x berubah-ubah  dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sebagai berikut:

b. Turunan parsial terhadap variabel y

Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi y, turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y sebagai berikut:

Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk 

F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0

Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah.
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 di atas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan:

 dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstan lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan, dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

. Differensial Total dan Turunan Total

Dalam Persamaan linier dari dan berbentuk disebut diferensial total dari z di titik 9(x,y) dan dinyatakan oleh dz. Jika z = f (x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D, maka z mempunyai diferensial total:

dz =  di setiap titik (x,y) dari D

Contoh

1.      Tentukan dw  jika w =  !

         penyelesaian :

         dw =  dx +  dy -  dz

2.  Radius danntinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm dengan kemungkinan kesalahan pengukuran. Gunakan diferensial total untuk menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui: 

r = 4 cm

h = 10 cm

dr = dh =  0,05 cm

ditanya: dv = ?

jawab:

dv =  dr + dh           

dv = 2  +  dh

subsitusikan r = 4, h = 10 cm, dan dr = dh sehingga menghasilkan  dv = 2  (40) (  (

=

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variabel berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta 

G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.