TURUNAN FUNGSI SATU VARIABLE

DEFINISI TURUNAN FUNGSI SATU VARIABLE

Turunan dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Jika kita mengatakan bahwa turunan dari  adalah  maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa diferensial dari  adalah , maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: diferensial dari adalah  dikalikan dengan diferensial x atau dapat ditulis begini: 

Turunan fungsi f yang dinotasikan sebagai f', merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u'(x) dan v'(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)

Jawab

(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)

Misalkan:

u = x2 – 4 maka u’ = 2x

v = 2x + 3 maka v’ = 2

maka

f ‘(x) = u’.v + u.v’

f ‘(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4)(2)

f ‘(x) = 2x2 + 6x + 2x2 – 8

f ‘(x) = 4x2 +  6x  – 8

(b). f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)

Misalkan:

u = 2x2 + 3x – 5 maka u’ = 4x + 3

v = 4x – 2 maka v’ = 4

maka

f ‘(x) = u’.v + u.v’

f ‘(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)

f ‘(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20

f ‘(x) = 24x2 + 16x – 26

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:

Jika y = sin x maka y’ = cos x 

Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangen, cotangen, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah

Jika y = tan x maka y’ = sec2x

Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x

Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x

Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk 

y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)

y’ = (cos u)(u’)

y’ = u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:

Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u

Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u

Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u

Untuk y = cot u maka y’ = u’. cosec2u

Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u

Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut.

Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :

1. f(x) = cos (3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Jawab

1. f(x) = cos (3x – 4)

Maka

f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))

f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

2. f(x) = 3.tan (x2 – 4)

Maka

f ’(x) = (2x)(3)sec2 (x2 – 4)

f ’(x) = 2x sec2 (x2 – 4)