matriks lanjutan II

matriks lanjutan II

- Desember 16, 2019

METODE SARRUS

Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks.

Ciri khas ini juga dimiliki pola Sarrus 4×4, hanya saja dengan jumlah pola yang lebih banyak yaitu 3 pola.

determinan matriks 3x3 metode sarrus

Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

Maka determinan matriks A, yaitu:

Det A =(-2)(3)(-8) + (4)(-7)(-1) + (-5)(1)(4) – ((-5)(3)(-1) + (-2)(-7)(4) + (4)(1)(-8))

Det A = (48 + 28 – 20) – (15 + 56 -32) = 56 – 39 = 17

Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen, jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai nol.

Maka, perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat.

CONTOH SOAL

METODE MINOR DAN KOFAKTOR

Salah satu cara menentukan determinan matriks segi adalah denga minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Cara ini dijelaskan sebagai berikut:

Misalkan

A_{i j}

adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks

A_{m x n}

.

Didefinisikan sebagai berikut:

Minor elemen $a_{i j}$ diberi notasi $M_{i j}$ , adalah $M_{i j} = d e t (A_{i j})$ .
Kofaktor elemen $a_{i j}$ , diberi notasi $α_{i j}$ , adalah $α_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ .

Contoh:

Misalkan suatu matriks A berukuran 3x3 seperti berikut ini:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})

maka diperoleh:

Perhitungan Determinan dengan Minor-Kofaktor

Definisi: Misalkan suatu matriks A =

(a_{i j})_{n x n}

dan

a_{i j}

kofaktor elemen

a_{i j}

, maka:

CONTOH SOAL

EKSPANSI LAPLACE

Ada banyak sekali metode untuk menyelesaikan permasalahan mengenai determinan mulai dari sarrus, metode minor kofaktor, metode reduksi baris, dan lain-lain. Metode Larplace merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan determinan matriks.
Metode ini menggunakan bantuan determinan matriks 2x2 yang terbentuk dari pencoretan baris ke i dan kolom ke j. Kita dapat memilih akan mengekspansi ke arah mana yang kita mau, bisa searah baris ke i bisa juga searah kolom ke j .Contohnya dengan matriks A yang sama dengan contoh di atas dan kita ekspansi searah dengan baris 1.

yang dicoret adalah baris 1 dan kolom 1, maka

didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda positiv dengan cara mengalikan elemen pada baris 1 dan kolom 1 dengan determinan matriks sisa pencoretan yaitu Berikutnya kita coret baris 1 kolem ke 2 lalu dilanjutkan coret baris baris 1 kolom 3. Selesai untuk menghitung nilai determinannya tinggal menjumlahkan ketiga bilangan tersebut yaitu.

Untuk aturan tanda positif negatifnya seperti berikut

CONTOH SOAL

Matriks Balikan (Invers)

Orde 2x2

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan $B = A^{-1}$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan $A = B^{-1}$ . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {det (A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Contoh 1: Matriks

A = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ dan B = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

AB = $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

BA = $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa $B = A^{-1}$ (B Merupakan invers dari A)

Komentar